Logique et raisonnements - Exo7 - Cours de mathématiques

Il est important d'avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l'exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou 

Part of the document

Logique et
raisonnementsVidéo"partie 1. Logique
Vidéo"partie 2. Raisonnements
Fiche d"exercices Logique, ensembles, raisonnements
Quelques motivations
•Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les coeurs» alors il ne faut pas exclure
l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?

Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I!Ren un point
x02I:

C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.

Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.
Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
On résume ceci en unetable de vérité:
PnQVF
VVF
FFF
FIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de coeur et est fausse pour toute autre carte.
L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.
On reprend ceci dans la table de vérité :
PnQVF
VVV
FVF
FIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de coeur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.
La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF
nonPFV