chapitre 5: cinématique et dynamique newtoniennes

2) deuxième loi de Newton ou principe fondamentale de la dynamique ... Introduction: En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le .... Au cours d'un mouvement rectiligne, la trajectoire d'un point M est une droite.

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|COMPRENDRE |chapitre 5: cinématique et dynamique newtoniennes |
|Lois et modèles | | Animation
1. déterminer les coordonnées d'un vecteur position
2. vitesse position et accélération en fonction du temps (mouvement
rectiligne) par Walter Fendt.
3. tracé d'un vecteur vitesse
tracé d'un vecteur variation de vitesse puis d'un vecteur accélération
4. le pendule simple sur différentes planètes
5. table à coussin d'air
6. chute verticale avec frottement (f(t), v(t), a(t) (Gastebois)
7. mouvement des planètes telluriques autour du soleil (Gastebois) Table de matières I) Cinématique
1) le vecteur position
2) le vecteur vitesse
Méthode pour tracer le vecteur vitesse instantanée
3) le vecteur accélération
4) le vecteur quantité de mouvement II) Les mouvements rectilignes et circulaires
1) mouvement rectiligne
2) mouvement circulaire III) les 3 lois de Newton
1) première loi de Newton ou principe d'inertie
2) deuxième loi de Newton ou principe fondamentale de la dynamique
3) troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques
4) application des lois de Newton à la propulsion
Programme officiel
I) Cinématique Introduction: En physique, la cinématique est la discipline de
la mécanique qui étudie le mouvement des systèmes matériels. On étudiera
des systèmes de petites dimensions assimilés à un point (système ponctuel).
Le mouvement d'un objet, représentant le système, est défini par :
a) le référentiel d'étude auquel on associe une horloge pour le
repérage du temps. Un référentiel d'étude est composé d'un solide par
rapport auquel on étudie le mouvement du système matériel. Le repère lié au
référentiel est constitué de trois vecteurs unitaires orthogonaux et d'un
point origine O. Exemple le repère cartésien R orthonormé: [pic]. b) sa trajectoire qui correspond à l'ensemble de ses positions
successives au cours du temps.
c) son vecteur vitesse en chaque instant
d) son vecteur accélération en chaque instant 1) le vecteur position
En terminale on se limitera à un vecteur position dans un repère à deux
dimensions. Le système ponctuel est assimilé au point M. Dans le repère
cartésien[pic], Le vecteur position [pic] est: [pic]
x et y sont les coordonnées du vecteur position dans le repère R cartésien
orthonormé. Unité légale : le mètre (m).
Exemple: Animation: déterminer les coordonnées d'un vecteur position
[pic]À l'instant t, le point B représentant le système ponctuel à pour
coordonnées (xB = 4 m; yB = 4 m). Le point origine du repère, noté A sur
l'animation, à pour coordonnée (xA = O m; yA = O m). Le vecteur position
[pic]du système est: 2) le vecteur vitesse
Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse instantanée à l'instant t
d'un point M du système, noté [pic], est égale à la dérivée du vecteur
position [pic] par rapport au temps:
vx et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien
orthonormé R. Unité légale: le mètre par seconde (m.s-1).
Le vecteur vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur position
[pic]divisée par la durée [pic]t du parcourt:
[pic]
[pic]: représente une grande variation alors que 'd' représente une petite
variation.
On assimile le vecteur vitesse moyenne au vecteur vitesse instantanée quand
la valeur [pic]tend vers 0:
[pic]
Exemple: si vx =2,0 m.s-1 et vy = 4,0 m.s-1 cela signifie que le solide se
déplace avec une vitesse de 2 m.s-1 sur l'axe des x et de 4 m.s-1 sur l'axe
des y. La valeur ou norme de la vitesse sera:
[pic]
Les caractéristiques du vecteur vitesse au point M sont:
Exemple: vecteur vitesse d'un point M mobile à l'instant t4: [pic]
Pour représenter le vecteur vitesse on utilisera une échelle Par exemple 1
cm représente 2 m.s-1 Méthode pour tracer le vecteur vitesse instantanée Animation: tracer un vecteur vitesse (attention il y a une erreur dans le
calcul de la longueur du vecteur vitesse)
Le vecteur vitesse à l'instant ti est:
[pic]
On désire tracer le vecteur vitesse [pic]à l'instant t5:
[pic]
1. calculer la norme de la vitesse v5. Mesurer la distance M4M6 puis
diviser par la durée t6-t4.
[pic]
2. Tracer la corde M4M6. Tracer une parallèle à la corde passant par M5.
Cette parallèle est la tangente à la courbe à l'instant t5. C'est la
direction du vecteur vitesse
3. Choisir une échelle de vitesse par exemple 1cm 0,30 m.s-1. En
déduire la longueur du vecteur vitesse:
[pic]
[pic]
4. Tracer le vecteur vitesse qui a pour origine le point M5, le sens celui
du mouvement, une longueur de 2,8 cm, une direction la tangente à la
trajectoire au point M5.
[pic] 3) le vecteur accélération
Dans un référentiel donné, le vecteur accélération instantanée à l'instant
t d'un point M du système, noté [pic], est égale à la dérivée du vecteur
vitesse instantanée [pic] par rapport au temps:
ax et ay sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien
orthonormé R. Unité légale: le mètre par seconde au carré (m.s-2).
ax est la dérivée première par rapport au temps de la coordonnée de la
vitesse vx sur l'axe des x; c'est la dérivée seconde par rapport au temps
de l'abscisse x.
ay est la dérivée première par rapport au temps de la coordonnée de la
vitesse vy sur l'axe des y; c'est la dérivée seconde par rapport au temps
de l'ordonnée y.
Exemple 1: si ax =2,0 m.s-2 et ay = 4,0 m.s-2 cela signifie que le solide
voit sa vitesse varier de 2 m.s-1 en une seconde sur l'axe des x et de 4
m.s-1 en une seconde sur l'axe des y. La valeur ou norme de l'accélération
sera:
[pic]
Exemple 2: animation donnant vitesse position et accélération en fonction
du temps (mouvement rectiligne) par Walter Fendt.
Les caractéristiques du vecteur accélération au point M sont: 4) Méthode pour tracer le vecteur accélération instantanée. Tracé d'un vecteur variation de vitesse puis d'un vecteur accélération
réalisée par L. Germain.
Le vecteur accélération à l'instant ti est:
[pic]
On désire tracer le vecteur accélération [pic]à l'instant t5:
[pic]
1. Tracer les vecteurs [pic]puis le vecteur variation de vitesse [pic]
2. Mesurer la longueur du vecteur [pic] et déterminer sa norme [pic] grâce
à l'échelle de vitesse.[pic]
3. Calculer la norme du vecteur accélération grâce à la formule:
[pic]
4. Choisir une échelle d'accélération par exemple 1,0 cm 1,0 m.s2. En
déduire la longueur du vecteur accélération:
5. Tracer le vecteur accélération qui a pour origine le point M5, le sens
celui du mouvement, une longueur de 2,0 cm, une direction celle du vecteur
variation de vitesse [pic]. 5 ) le vecteur quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement [pic]d'un point matériel est égal au
produit de sa masse m par son vecteur vitesse:
[pic]
Le vecteur quantité de mouvement dépend du référentiel. Il est colinéaire
et de même sens que le vecteur vitesse.
Unité légale m (kg), v (m.s-1), p (kg.m.s-1)
Les caractéristiques du vecteur quantité de mouvement du point M sont: II) Les mouvements rectilignes et circulaires
1) mouvement rectiligne Animation table à coussin d'air
Au cours d'un mouvement rectiligne, la trajectoire d'un point M est une
droite. Il existe 3 types de mouvements rectilignes: a) mouvement rectiligne uniforme Exemple: mouvement du centre d'inertie d'un palet sur un plan horizontal
sans frottement
[pic] Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne uniforme
si en chaque instant son vecteur vitesse est constant :
[pic]Le vecteur accélération instantanée est égal au vecteur nul quelque
soit t en effet:
[pic]
écrit d'une autre façon: [pic]
Animation donnant vitesse position et accélération en fonction du temps
(mouvement rectiligne) par Walter Fendt. Allure des courbes x(t), vx(t) et
ax(t) au cours d'un mouvement rectiligne uniforme
[pic]
b) mouvement rectiligne uniformément accéléré
Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne
uniformément accéléré si en chaque instant son vecteur accélération est
constant et que sa trajectoire est une droite:
[pic]
Animation donnant vitesse position et accélération en fonction du temps
(mouvement rectiligne) par Walter Fendt. Allure des courbes x(t), vx(t) et
ax(t) au cours d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
[pic]
c) mouvement rectiligne quelconque
Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne
quelconque si en chaque instant son vecteur accélération et vitesse est
quelconque et que sa trajectoire est une droite. Animation: chute verticale avec frottement (f(t), v(t), a(t) (Gastebois) 2) mouvement circulaire Dans le cas des mouvements circulaires on utilisera le repère de Frénet
(M,[pic]pour exprimer les vecteurs vitesse accélération et position. Ce
repère est constituée d'un point M ou se trouve le mobile à l'instant t et
de deux vecteurs orthonormés [pic] (n de normale à la trajectoire) et
[pic](T de tangent à la trajectoire)
Le vecteur unitaire [pic] est tangent à la trajectoire, au point M où se
trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement
dans le sens du mouvement).Le vecteur unitaire [pic] est normal à la
trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
[pic]
Dans ce cours on verra 2 types de mouvement circulaire. a) mouvement circulaire uniforme
Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est circulaire uniforme
si en chaque instant la valeur v de la vitesse est constante et que la
trajectoire est une portion de cercle de rayon R. Le vecteur accélération
est centripète (orienté vers le centre de la trajectoire). Les coordonnées
des vecteurs accélération, vitesse et position sont, dans la base de
Frénet:
[pic]
Exemple: le mouvement du centre d'inertie des planètes dans le référentiel
héliocentrique. Animation: mouvement des planètes telluriques autour du
soleil
[pic] b) mouvement circulaire non uniforme
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