Évolution des systèmes mécaniques

La seconde loi de Newton donne, dans le cas d'une chute libre avec force de ..... sans frottement, cette énergie mécanique est constante au cours du temps.

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Évolution des systèmes mécaniques
I) les 3 lois de Newton
II) chute verticale
III) mouvement dans un champ de pesanteur
IV) mouvement des planètes
V) le pendule pesant
VI) oscillateur horizontal
VII) énergie mécanique
VIII) mécanique quantique
IX) programme officiel Chapitre 9 : les 3 lois de Newton
1) Première loi de Newton : principe d'inertie
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un système matériel
isolé ou pseudo-isolé est soit immobile, soit en mouvement rectiligne
uniforme. Son vecteur vitesse, de valeur vG , est constant.
La réciproque est vraie.
[pic]
2) Troisième loi de Newton, principe d'interaction :
Lorsqu'un système matériel A exerce une force sur un système matériel B
alors celui-ci exerce sur le système matériel A une force opposée :
3) Le vecteur accélération du centre d'inertie
Le vecteur accélération instantanée du centre d'inertie d'un solide est
égal à la variation du vecteur vitesse instantanée divisée par l'intervalle
de temps dt pendant lequel s'effectue cette variation.
En d'autres termes, le vecteur accélération est égal à la dérivée du
vecteur vitesse par rapport au temps.
[pic]
4) Caractéristiques du vecteur accélération
Comme tout vecteur, le vecteur accélération possède 4 caractéristiques :
1) une direction : celle du vecteur [pic]
2) un sens : celui de du vecteur [pic]
3) une norme : aG
4) un point d'application: le point de la trajectoire où se trouve le point
G à l'instant t.
L'unité d'accélération est le m.s-2. 5) Seconde loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures
appliquée à un système matériel, est égale au produit de sa masse par le
vecteur accélération de son centre d'inertie : exemple
[pic]
6) Rôle de la masse
D'après la seconde loi de Newton on peut affirmer que pour une somme
vectorielle de force constante, plus la masse est importante plus
l'accélération est faible. En effet :
[pic]
La masse s'oppose à la variation de vitesse. Plus la masse d'un corps est
importante plus son inertie est importante : la masse correspond à de
l'inertie mécanique. Chapitre 10 : chute verticale
I) Forces agissant sur un solide en chute verticale
1) Force de frottement fluide
La force de frottement laminaire est égale à l'opposé du produit du
coefficient de frottement fluide laminaire h par le vecteur vitesse du
centre d'inertie du solide :
[pic]
h: coefficient de frottement fluide laminaire (kg.s-1),
force de frottement fluide turbulent :
[pic]
[pic] : coefficient de frottement turbulent (kg.m-1) ;v : vitesse du
solide(m.s-1) ;f (N).
De manière générale la force de frottement est opposée à la vitesse, et sa
norme est de la forme :
f = A.vn
2) La poussée d'Archimède
Tout corps plongé dans un fluide subit de sa part une force appelée
poussée d'Archimède, de norme [pic]. La norme [pic] de cette force est
égale ou poids du volume de fluide déplacé par ce corps. La poussée
d'Archimède est égale à l'opposé du vecteur poids de fluide déplacé :
[pic]
direction : verticale ;sens : opposé au vecteur poids du solide ;point
d'application : G ;norme : [pic]=m(fluide déplacé).g
3) Le vecteur poids
Le vecteur poids est égal au produit de la masse 'm' de l'objet par le
vecteur champ de pesanteur terrestre :
[pic]
unité: P en Newton(N), m en kilogramme (kg), g intensité du champ de
pesanteur terrestre (N.kg-1).
II) Etude d'une chute verticale
1) Les 2 régimes d'une chute verticale
Au cours d'une chute verticale on distingue deux régimes:
Le régime transitoire pendant lequel la vitesse augmente.
Le régime permanent pendant lequel la vitesse reste constante.
Cette vitesse est appelée vitesse limite, notée v(limite). chute avec force de frottement de valeur f = k.v : II) Etude mécanique du mouvement
1) Etude mécanique
Pour effectuer une étude mécanique d'un objet en mouvement il faut définir
(vidéo):
1) le système : la bille.
2) le référentiel : la terre supposée référentiel galiléen.
3) le repère (cartésien dans notre cas) lié au référentiel [pic]
4) définir la somme des forces extérieures agissant sur le système :
[pic][pic]
III) Equation différentielle du mouvement
La seconde loi de Newton donne, dans le cas d'une chute libre avec force de
frottement laminaire, l'équation différentielle en z(position du centre
d'inertie de la bille sur l'axe vertical orienté vers le bas) : Vidéo. [pic][pic] 'mf' : masse de fluide déplacé(kg): 'm' masse de la bille(kg) ; 'h'
coefficient de frottement laminaire (kg.s-1) ; gz: coordonnée du vecteur
champ de pesanteur sur l'axe des z : gz = 9,8 N.kg-1.
IV) Résolution numérique, méthode d'Euler
1) Principe (vidéo)
On veut calculer, à partir de l'expression de l'équation différentielle,
et à n'importe quel instant t :1) la position z
2) la vitesse vz
3) l'accélération az.
(vz sera notée v, et az 'a' pour plus de facilité.)
On prendra comme exemple l'équation différentielle exprimée précédemment :
[pic]
A la date t = 0 on doit connaître les valeurs de : ao, vo, et zo. On
découpe le temps en intervalles de temps (t égaux( (t est appelé le 'pas',
il doit être le plus petit possible). A l'instant t1 = to+(t on obtient :
1) la valeur de v 1. En effet :
[pic]
donc :
[pic]
2) la valeur de a1. Celle ci est calculée à partir de l'équation
différentielle :
[pic]
3) la valeur de z1 :
[pic]
On en déduis la valeur de z1:
[pic]
En généralisant à n'importe quel instant ti :
[pic]
[pic]
Et dans le cas d'un frottement de type laminaire :
[pic]
2) Importance du pas de durée (t
Pour que le calcul numérique de la vitesse, de l'accélération et de la
position soit proche de l'expérience il faut prendre un pas environ 10 fois
inférieur au temps ( caractéristique :
V) Cas d'une chute libre verticale
Un objet est en chute libre quand il n'est soumis qu'à son poids.
équations horaires du mouvement (vidéo)
En utilisant la seconde loi de Newton, on obtient les résultats suivants
(axe des z orienté vers le centre de la terre):
[pic]
Avec C1 = Voz et C2 = zo , constantes déterminées avec les conditions
initiales. Chapitre 11 : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
I) Mise en équation du mouvement
La somme des forces extérieures agissant sur le solide de masse 'm' en
mouvement dans l'air se [pic]réduit essentiellement à son poids (la poussée
d'Archimède et les forces de frottement sont négligeables :
[pic]
Seconde loi de Newton : [pic]
(vidéo) :
L'accélération d'un projectile dans un champ de pesanteur constant est une
accélération uniforme. 2) Equation différentielle du mouvement : (vidéo)
[pic]: vecteur vitesse initiale du projectile.
Le vecteur position du centre d'inertie est, dans le repère orthonormé
[pic] cartésien orientant respectivement les axes x, y, z :
[pic]
Le vecteur vitesse du centre d'inertie G du solide est égal à la dérivée du
vecteur position par rapport au temps :
[pic]
le vecteur accélération du centre d'inertie du solide est égal à la dérivée
du vecteur vitesse par rapport au temps :
[pic]
D'après la seconde loi de Newton :
[pic]
Equations différentielles du mouvement sont :
[pic]
II) Equations horaires du mouvement / équation cartésienne de la
trajectoire
1) Conditions initiales
Les conditions initiales sont :
A t = 0, le centre d'inertie se trouve au point Go (xo = 0; yo ; zo) ;A t =
0, la vitesse initiale du centre d'inertie du solide est :
[pic]
2) Equations horaires du mouvement
Si les vecteurs position et vitesse initiaux sont dans le plan ((y,O,z)
alors les équations horaires du mouvement sont :
[pic]
exemple.
3) Equation cartésienne de la trajectoire (vidéo)
L'équation cartésienne de la trajectoire est la relation liant les
coordonnées du point G(x,y,z).
En éliminant le temps dans les équations horaires du mouvement on obtient
les équations cartésiennes de la trajectoire. La trajectoire s'inscrit dans
le plan (y,O,z). C'est une parabole. III) La flèche H et la portée D
On appelle portée D (vidéo) la distance maximale parcourue sur l'axe
horizontal,
La flèche correspond à l'altitude la plus élevée atteinte par le projectile
(calculée à partir de l'altitude initiale zo). Chapitre 12 : mouvement des satellites et des planètes
I) Les lois de Kepler
1ière loi ou loi des orbites elliptiques 1605
Toutes les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe
l'un des foyers.
2nd loi ou loi des aires (1604)
Pendant des intervalles de temps égaux Dt la planète balaye des surfaces
'S' de l'ellipse égales.
Schéma :
[pic]
Si Dt = t1-t0 = t3-t2
alors S1 = S2
3ième loi ou loi des périodes
La période de révolution (vidéo) au carré divisée par le demi-grand axe 'a'
au cube est une constante.
Elle ne dépend pas de la planète mais uniquement de la masse MS du Soleil
et de la constante d'attraction universelle G :
[pic]
G = 6,67.10-11N.kg-2.m2 ;MS = 1,96.1030 kg.
II) Force d'attraction gravitationnelle (vidéo)
Un corps ponctuel A de masse mA exerce sur un corps ponctuel B de masse mB
une force d'attraction gravitationnelle telle que :
[pic]
[pic]: vecteur unitaire (norme sans unité, égale à 1, de direction la
droite AB et de sens de A vers B).
FA/B exprimé en Newton (N).

[pic]
III) Le mouvement circulaire uniforme (vidéo)
1) La base de Frénet
Dans le cas des mouvements circulaires on n'utilise pas le repère
cartésien, mais le repère de Frenet, défini par deux vecteurs orthonormés
dans le plan :
[pic]
Soit un point P mobile décrivant une trajectoire curviligne la base de
Frénet à l'instant t est :
[pic]: vecteur unitaire tangent à la trajectoire au point P, orienté
généralement dans le sens du mouvement.
[pic]: vecteur unitaire, normal à la trajectoire, et centripète.
2) Vecteur accélération pour un mouvement circulaire uniforme (vidéo)
Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon de trajectoire R, le vecteur
accélération et le vecteur vitesse d'un point mobile sont :
[pic]
L'accélération est centripète ( orientée vers le centre de la trajectoire). [pic]

3) Vitesse
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