La logique booléenne - Free

La figure de droite montre la table de vérité de cette fonction. .... par un opérateur (bouton de commande), par un mécanisme (interrupteur de fin de course), ...... Ces deux techniques appelées « tables de Karnaugh » et « tables de Mahoney ...

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un extrait du document


- La logique booléenne
Beaucoup de systèmes automatisés fonctionnent en utilisant des organes
et des fonctions binaires. Ces organes et fonctions binaires ne peuvent
être que dans deux états possibles. Par exemple, un détecteur de niveau
peut être immergé ou submergé. Un voyant peut être allumé ou éteint.
Par convention, on représente par la valeur logique « 0 » l'un de ces
états et par la valeur logique « 1 » l'autre état. La valeur logique « 0 »
correspond à un organe binaire (ou une fonction binaire) dans un état dit
« non-activé », « non-actionné » ou « inactif » (exemple : un voyant
inactif est éteint). La valeur logique « 1 » correspond à un organe
binaire (ou une fonction binaire) dans un état dit « activé », « actionné »
ou « actif » (exemple : un voyant actif est allumé). Dans le chapitre
précédent la notion de présence (niveau logique = 1) ou d'absence (niveau
logique = 0) d'une grandeur physique était envisagée sous une formé
logique.
La mathématique des fonctions binaires est appelée l'algèbre booléenne
et elle fut inventée par M. Georges Boole en 1847. Dans un écrit nommé
« The Mathematical Analysis of Logic », il définit trois opérateurs de base
ainsi qu'une foule de règles et de postulats. Ainsi, toutes les fonctions
binaires (dites aussi logiques) sont des relations entre des entrées et des
sorties logiques composées d'opérateurs de base et sur lesquelles on peut
appliquer diverses règles d'algèbre.
Les fonctions logiques (ou binaires) peuvent être représentées de
diverses façons. La plus élémentaire consiste à dresser une table
répertoriant toutes les combinaisons de valeurs logiques des variables
soumises à des opérateurs. Ces tables sont nommées « tables de vérité »
Une autre représentation possible est d'écrire les fonctions logiques sous
forme d'équations. Ces « équations logiques » facilitent la simplification
des fonctions logiques grâces aux règles de l'algèbre booléenne.
Le chapitre qui suit à pour but de vous introduire à tous ces aspects
et de vous permettre de comprendre les mécanismes mis en ?uvre pour
solutionner les systèmes logiques.
1 Les trois opérateurs de base
Les fonctions logiques reposent sur trois opérateurs de base. Ce
sont les fonctions logiques : « NON » (en anglais « NOT »), « ET » (en
anglais « AND ») et « OU » (en anglais « OR »). Nous les présenterons en
montrant leur équation et leur table de vérité. 1 La fonction logique « NON »
Soit une variable booléenne nommée A. La fonction logique
NON(A), appelé complément de A, sera notée [pic] (lire A barre). Le
résultat de NON(A) sera également une variable booléenne. La table ci-
contre est la table de vérité de cette fonction.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic]. 2 La fonction logique « ET »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique A ET B sera également une variable booléenne. Le
tableau de droite montre la table de vérité de cette fonction. Comme
vous pouvez le constater, la fonction logique ET n'active la sortie
que lorsque toutes les entrées sont actives.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic]. Le symbole du ET est semblable à celui du produit. 3 La fonction logique « OU »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique A OU B sera également une variable booléenne. La
table de vérité de cette fonction est montrée à droite. Comme vous
pouvez le constater, la fonction logique OU donne une valeur de sortie
égale à 1 dès qu'une des entrées est à 1.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic]. Le symbole du OU est semblable à celui de la somme.
Ces trois fonctions de bases sont le fondement de l'algèbre
booléenne. Toutes autres fonctions logiques peuvent s'exprimer à partir de
ces trois fonctions élémentaires (exemple : [pic]). 2 Les autres opérateurs logiques
En plus des opérateurs de base, il existe d'autres opérateurs de deux
variables et nous présenterons ici les plus importants. 1 La fonction logique « NON-ET »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique NON(A ET B) sera également une variable booléenne.
La figure de droite montre la table de vérité de cette fonction.
Comme vous pouvez le constater, la sortie de la fonction logique NON-
ET (en anglais NAND) à un comportement inverse à celle de la fonction
logique ET.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic]. Remarquez l'ajout de la barre au-dessus de la
fonction et traduisant ainsi l'inversion du résultat du ET.
2 La fonction logique « NON-OU »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique NON(A OU B) sera également une variable booléenne.
La table ci-contre montre la table de vérité de cette fonction.
Comme vous pouvez le constater, la sortie de la fonction logique NON-
OU (en anglais NOR) à un comportement inverse à celle de la fonction
logique OU.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic] . Remarquez l'ajout de la barre au-dessus de la
fonction et traduisant ainsi l'inversion du résultat du OU. Ces deux fonctions (NON-ET et NON-OU) sont très utilisées en
électronique[1], car elles représentent des éléments de connections
universels. Toute fonction logique peut en effet être écrite exclusivement
à partir de l'une ou l'autre de ces fonctions. Un des avantages de ces éléments de connexion universel est de
permettre l'implantation de n'importe quelle fonction logique à l'aide d'un
seul type de circuit électronique. Il y a donc standardisation sur un seul
type de circuit électronique. Ainsi, il est possible d'en acheter une
grande quantité pour bénéficier d'un prix de vente avantageux. On ne
stocke qu'un seul type de circuit en prévision d'éventuelles pannes. 3 La fonction logique « OU-EXCLUSIF »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique A OU-EXCLUSIF B sera également une variable
booléenne. La table de vérité de droite montre le comportement de
cette fonction. Comme vous pouvez le constater, la sortie de la
fonction logique OU-EXCLUSIF (en anglais EXOR) ne donne un niveau
logique 1 que si l'une des entrées est à un niveau logique 1.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic] . Cette expression peut aussi être écrite sous une
autre forme : [pic]. 4 La fonction logique « NON-OU-EXCLUSIF »
Soit deux variables booléennes nommées A et B. Le résultat de
la fonction logique NON(A OU-EXCLUSIF B) sera également une variable
booléenne. La figure de droite montre la table de vérité de cette
fonction. Comme vous pouvez le constater, la sortie de la fonction
logique NON-OU-EXCLUSIF (en anglais ENXOR) est l'inverse de celle
obtenue avec la fonction logique OU-EXCLUSIF.
Au niveau algébrique, l'équation correspondant à cette table de
vérité est [pic]. Cette expression peut aussi être écrite sous une
autre forme : [pic]. Les fonctions vues jusqu'à présent sont les plus courantes de
l'algèbre booléenne. Toutefois, il est bon de savoir que d'autres
opérations sont définies, nommées et utilisées en technique numérique. Il
y a, en effet, seize fonctions possibles pour deux variables booléennes.
Deux variables permettent quatre combinaisons (22) d'entrées et ces quatre
combinaisons donnent seize (24) combinaisons différentes pour la fonction.
Pour retrouver ces seize fonctions, il suffit d'écrire tous les nombres
entiers de 0 à 15 dans l'ordre binaire naturel. La table 2-1 montrée en
page suivante montre ces 16 fonctions identifiées de F0 à F15.
Plusieurs de ces fonctions sont très simples. Par exemple, F0 est
égale à 0. Toutes ces fonctions peuvent être exprimées au moyen des
opérateurs élémentaires définis précédemment. La table 2-2 (toujours en
page suivante) montre les expressions des seize fonctions. On y reconnaît
le NON (F3 ou F5), le ET (F8), le OU (F14), le NON-ET (F7), le NON-OU (F1),
le OU-EXCLUSIF (F6) et le NON-OU-EXCLUSIF (F9).
[pic] Table 2-1 - Les seize fonctions possibles associant deux variables
d'entrées
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Table 2-2 - Les seize expressions logiques de deux variables d'entrées Avec trois variables d'entrées, il faudrait traiter 256
fonctions possibles. En effet, trois variables permettent huit
combinaisons (23) d'entrées et ces huit combinaisons donnent 256 (28)
combinaisons différentes pour la fonction. Il est évident qu'il devient
non rentable d'énumérer la liste des expressions logiques possibles.
D'autres approches seront donc nécessaires et nous verrons plus loin
comm
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