31_Tableaux_de_Karnaugh_trevoux.doc

Une fonction logique peut être représentée sous forme de logigramme, table de vérité puis ... 2- SIMPLIFICATION PAR LES TABLEAUX DE KARNAUGH.

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1- ELEMENTS DE LOGIQUE - RAPPELS En automatique, une information peut être de nature binaire ou numérique ou
analogique. Une fonction logique peut être représentée sous forme de logigramme, table
de vérité puis d'équation, de schéma électrique. Les opérateurs logiques de base sont OUI, NON, ET,
OU. On utilise aussi ces opérateurs complémentés OU-NON (NOR)
, ET-NON (NAND) et l'opérateur OU-EXCLUSIF. Pour simplifier les équations logiques, on utilise les règles de
commutativité, d'associativité, de distributivité (voir votre livre p33),
ainsi que le théorème de De Morgan : a+b = a . b et a.b = a + b.
2- SIMPLIFICATION PAR LES TABLEAUX DE KARNAUGH Ces tableaux sont utilisés pour simplifier les équations logiques, ayant au
plus 6 variables, et à partir de la table de vérité. L'application se fait
par étapes bien définies ; elle est bien souvent plus rapide que la méthode
algébrique (fonctionnant par approximations successives) et donne toujours
l'expression minimale. 2.1- Représentation d'une variable
Une variable binaire a ne peut prendre que 2 valeurs.
Elle est donc représentée par 2 rectangles.
2.3- Représentation de trois (et plus) variables
On utilise 3 représentations d'une variable, en les superposant pour donner
23 cases. On obtient donc un tableau à 4 colonnes et 2 lignes (ou
inversement). 2.4- Utilisation des tableaux de Karnaugh Principe :
Les tables de vérité donnent la valeur de sortie de chaque combinaison des
variables d'entrées, ligne par ligne. A chaque ligne de la table de vérité
correspond une case d'un tableau de Karnaugh (nombre de
lignes = nombre de cases = 2n ). Si la sortie de la
ligne est à 1, alors la case correspondant est à 1 aussi. Simplification :
Elle est possible chaque fois que deux cases à 1 sont adjacentes ou ont un
côté en commun, ce qui élimine l'entrée commune aux 2 cases (la variable
qui change d'état pour passer d'une case à une autre adjacente, n'a pas
d'influence sur le résultat du regroupement de cases et elle peut être
éliminée du regroupement en question).
On simplifie également lorsque les cases à 1 peuvent être groupées en carré
ou en ligne : on élimine toujours les entrées communes. Cas des conditions indifférentes : il arrive que certaines combinaisons des
entrées ne correspondent à aucun fonctionnement du dispositif (un cas qui
ne peut jamais se produire par exemple). La lettre X est utilisée dans les
tables de vérité puis dans les tableaux de Karnaugh pour décrire ces cas.
Dans la mesure où ces cas sont indifférents ou sans effet, ils peuvent être
mis à 0 ou à 1 selon les besoins de la simplification. En résumé, les étapes de la simplification par les tableaux de Karnaugh
sont :
1/ la table de vérité
2/ remplissage du tableau
3/ recherche de regroupement
4/ écriture algébrique des regroupements
3- APPLICATIONS : donner les équations logiques de S, T, U, V
Annexe N°1
LES états indifférents
Présence d'états indifférents
Quand certaines combinaisons des variables sont sans effet sur la valeur de
la fonction de sortie, on dit que ce sont des états indifférents.
Cela peut être aussi des combinaisons impossibles physiquement (capteur
haut et bas sur un store par exemple). On note ces états par une croix dans le tableau de Karnaugh et on les
utilise partiellement ou totalement pour simplifier la fonction de sortie. Attention comme il est possible d'obtenir l'équation simplifiée soit à
partir du regroupement des 1 ou des 0, ces deux formes ne sont plus
complémentaires car certains états indifférents figurent implicitement dans
les deux formes. | |00 |01 |11 |10 |
|00 |1 |1 |0 |1 |
|01 |X |1 |0 |1 |
|11 |X |0 |0 |1 |
|10 |0 |0 |0 |1 | | |00 |01 |11 |10 |
|00 |1 |1 |0 |1 |
|01 |X |1 |0 |1 |
|11 |X |0 |0 |1 |
|10 |0 |0 |0 |1 | Exercice : Nous avons les tables de vérité suivantes :
. Compléter les informations manquantes
. Ecrire l'équation logique littérale à partir de la T.V.
. Ecrire l'équation logique à partir du tableau de Karnaugh. ----------------------- a
a a
0 1 2.2- Représentation de deux variables
Il y a 2 variables, donc on utilise 2 représentations d'une variable en les
superposant
a
0 1
a
a 0
b
1 b b 0 0 0 1 1 1 1 0 0
1 Remarque : pour passer d'une colonne à l'autre, seul une variable change
d'état(appelé code binaire réfléchi ou code Gray), ce qui donne dans
l'ordre : 00 01 11 10. La représentation pourrait se faire sur un
cylindre où les cases a.b.c et a.b.c seraient adjacentes. 1/
|a |b |S |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |0 |
| | |
| | | S= T=
| | |
| | |
2/
|a |b |T |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 | U=
| | |
| | |
| | |
| | |
3/
|a |b |c |U |
|0 |0 |0 |0 |
|0 |0 |1 |1 |
|0 |1 |0 |0 |
|0 |1 |1 |1 |
|1 |0 |0 |0 |
|1 |0 |1 |1 |
|1 |1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |1 |
4/
|a |b |c |d |V |
|0 |0 |0 |0 |0 |
|0 |0 |0 |1 |1 |
|0 |0 |1 |0 |0 |
|0 |0 |1 |1 |0 |
|0 |1 |0 |0 |0 |
|0 |1 |0 |1 |1 |
|0 |1 |1 |0 |0 |
|0 |1 |1 |1 |0 |
|1 |0 |0 |0 |0 |
|1 |0 |0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |0 |0 |
|1 |0 |1 |1 |0 |
|1 |1 |0 |0 |1 |
|1 |1 |0 |1 |1 |
|1 |1 |1 |0 |1 |
|1 |1 |1 |1 |1 |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | | V=
a b Sans tenir compte des états indifférents on a
a.b + a . b . c + a . c . d c d En tenant compte des états indifférents on a
a.b + a . c c d a b |1 |0 |0 |1 |
|0 |1 |1 |0 |
|0 |1 |1 |0 |
|1 |0 |0 |1 |
a b cd gh ef |1 |X |X |1 |
|0 |1 |1 |0 |
|1 |0 |0 |1 |
|1 |0 |0 |1 | -----------------------
[pic] LANCEMENT SERIE 1 LES TABLEAUX DE KARNAUGH
F:\AII 1GE\Cours\31 Tableaux de Karnaugh_trevoux.doc
1ère STI GE
Lycée du Val de Saône 4 / 4 13/09/05
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