Les tableaux de Karnaugh Cours.doc - Electrocorot

On a 2 variables d'entrée a et b, le tableau comportera 4 cases. Les cases du tableau de Karnaugh seront complétées par les valeurs extraites de la table de ...

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I. SIMPLIFICATION D'EQUATION ELECTRIQUE PAR LA METHODE ALGEBRIQUE
1.1 Postulats et théorèmes de l'algèbre de Boole |Opérations sur la même variable |a + a = a |
| |a . a = a |
|Commutativité |a + b = b + a |
| |a . b = b . a |
|Associativité |a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a +|
| |b + c |
| |a . ( b . c ) = ( a . b ) . c = a .|
| |b . c |
|Distributivité |a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c|
| |) |
| |a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c|
| |) |
|Eléments neutres |0 + b = b |
| |a . 1 = a |
|Eléments absorbants |1 + b = 1 |
| |a . 0 = 0 |
|Complémentarité |a + [pic] = 1 |
| |a . [pic] = 0 |
|Loi d'involution |[pic]= a |
|Théorème de Morgan |[pic]=[pic]. [pic] |
| |[pic]=[pic]+ [pic] |
|Absorption du multiple |a + a . b = a |
|Absorption de complément |a + [pic]. b = a + b | 1.2 Exercices d'application
Simplifier par la méthode algébrique les équations suivantes o Exercice 1
F1 = [pic]. b. [pic] + [pic]. b. c F1 = [pic]. b. [pic] + [pic]. b. c
F1 = [pic]. b. ( [pic] + c )
F1 = [pic]. b. 1
F1 = [pic]. b
o Exercice 2
F2 = [pic]. [pic]. [pic]+ [pic]. [pic]. c + a .b. [pic] + a . b. c F2 = [pic]. [pic]. [pic]+ [pic]. [pic]. c + a .b. [pic] + a . b. c
F2 = [pic]. [pic]. ( [pic]+ c ) + a .b. ( [pic] + c)
F2 = [pic]. [pic]. 1 + a .b. 1
F2 = [pic] . [pic] + a . b o Exercice 3
F3 = a . b . [pic] + a . b. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c F3 = a . b . [pic] + a. b. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c
F3 = a . b .( [pic] + c ) + a . [pic]. ( [pic]+ c )
F3 = a . b . 1 + a . [pic]. 1 = a . b + a . [pic]
F3 = a ( b + [pic])
F3 = a . 1
F3 = a o Exercice 4
F4 = a . b . [pic] + [pic]. [pic]. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c F4 = a . b . [pic] + [pic]. [pic]. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c
F4 = a . [pic] ( b + [pic] ) + [pic]. c ( [pic] + a )
F4 = a . [pic] . 1 + [pic]. c . 1
F4 = a . [pic] + [pic]. c o Exercice 5 F5 = [pic]. [pic]. c . [pic]+ [pic]. b. [pic]. d + a. [pic]. c. [pic]+
[pic]. [pic]. [pic]. [pic]+ a. b. [pic]. d + [pic]. b. c. d + a. [pic].
[pic]. [pic] F5 = [pic]. [pic]. c . [pic]+ [pic]. b. [pic]. d + a. [pic]. c. [pic]+
[pic]. [pic]. [pic]. [pic]+ a. b. [pic]. d + [pic]. b. c. d + a. [pic].
[pic]. [pic]
F5 = [pic]. [pic]. [pic] ( c + [pic]) + [pic]. b. d. ([pic] + c) + a.
[pic]. [pic] ( c + [pic] )+ a. b. [pic]. d
F5 = [pic]. [pic]. [pic] .1 + [pic]. b. d. 1 + a. [pic]. [pic] .1 + a.
b. [pic]. d
F5 = [pic]. [pic]. [pic] + [pic]. b. d + a. [pic]. [pic] + a. b.
[pic]. d
F5 = [pic]. [pic] ([pic] + a. ) + b. d ([pic] + a . [pic] )
F5 = [pic]. [pic] . 1 + b. d ([pic] + a. [pic] )
F5 = [pic]. [pic] + b. d ([pic] + a. [pic] )
F5 = [pic]. [pic] + b. d ([pic] + [pic] )
1.3 Conclusion
On vient de s'apercevoir que la méthode de simplification d'équations
consistant à effectuer des mises en facteur successives (logique booléenne)
devenait vite très longue et fastidieuse dès que le nombre de variables
devenait important.
La méthode du tableau de Karnaugh va nous permettre d'effectuer des
simplifications beaucoup plus rapidement sans avoir à écrire de longues
équations. II. LES TABLEAUX DE KARNAUGH > C'est un tableau de 2n cases, n étant le nombre de variables.
Exemple : 4 variables ( 16 cases.
> Sur les lignes et colonnes, on place l'état des variables d'entrée codées
en binaire réfléchi (code Gray)
> Dans chacune des cases, on place l'état de la sortie pour les
combinaisons d'entrée correspondante.
2.1. Construction d'un tableau de Karnaugh.
2.1.1. Exemple : Fonction OU
On prendra comme exemple la fonction OU à 2 entrées (a et b). On a 2
variables d'entrée a et b, le tableau comportera 4 cases. Les cases du
tableau de Karnaugh seront complétées par les valeurs extraites de la table
de vérité. 2.1.2. Exercices d'application
Construire les tableaux de Karnaugh correspondant aux fonctions logiques
suivantes :
III. SIMPLIFICATION D'EQUATIONS A L'AIDE DU TABLEAU DE KARNAUGH 3.1 Principe des simplifications > On réalise des groupements de cases adjacentes, ces groupements de cases
doivent être de taille maximale et égales à un multiple de 2 (groupement
de 2, 4, 8, 16 cases). On cesse d'effectuer les groupements lorsque tous
les 1 appartiennent au moins à l'un d'eux.
> Les cases adjacentes sont celles situées l'une à coté de l'autre, mais
attention le tableau possède des propriétés de repliement (en réalité le
tableau de Karnaugh peut être assimilé à une sphère).
Exemples de cases adjacentes : > Une ou plusieurs cases peuvent être commune à plusieurs groupements.
> Pour extraire l'équation de la fonction logique, on ne retient que les
variables dont l'état ne change pas à l'intérieur d'un groupement et on
effectue la somme (OU logique) de toutes les expressions trouvées. 3.2 Exemples Simplifier les équations suivantes à l'aide de la méthode du tableau de
Karnaugh : o Exercice 1
F1 = [pic]. b. [pic] + [pic]. b. c o Exercice 2
F2 = [pic]. [pic]. [pic]+ [pic]. [pic]. c + a .b. [pic] + a . b. c
o Exercice 3
F3 = a . b . [pic] + a . b. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c o Exercice 4 F4 = a . b . [pic] + [pic]. [pic]. c + a . [pic]. [pic] + a . [pic]. c o Exercice 5 F5 = [pic]. [pic]. c . [pic]+ [pic]. b. [pic]. d + a. [pic]. c. [pic]+
[pic]. [pic]. [pic]. [pic]+ a. b. [pic]. d + [pic]. b. c. d + a. [pic].
[pic]. [pic] IV. APPLICATION : DECODEUR 7 SEGMENTS Ce type de décodeur permet de convertir un nombre binaire de 4 bits en 7
sorties qui pilotent chacune un segment d'un afficheur indiquant les
chiffres de 0 à 9 (décodeur décimal) ou les chiffres de 0 à F (Décodeur
hexadécimal).
Dans notre exemple nous nous intéresserons au codeur décimal.
o Table de vérité a0, a1, a2, a3 sont les entrées codées en binaire naturel.
a, b, c, d, e, f, g sont les sorties.
Les combinaisons comprises entre 10 et 15 (1010 et 1111) ne sont pas
imposées : elles peuvent valoir indifféremment 0 ou 1.
On note cette particularité par le caractère ( . | |a3 |a2 |a1 |a0 |a |b |c |d |e |f |g |
|0 |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |
|1 |0 |0 |0 |1 |0 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |
|2 |0 |0 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |
|3 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |1 |
|4 |0 |1 |0 |0 |0 |1 |1 |0 |0 |1 |1 |
|5 |0 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |0 |1 |1 |
|6 |0 |1 |1 |0 |1 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |
|7 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |
|8 |1 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
|9 |1 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |1 |1 |
|10 |1 |0 |1 |0 |( |( |( |( |( |( |( |
|11 |1 |0 |1 |1 |( |( |( |( |( |( |( |
|12 |1 |1 |0 |0 |( |( |( |( |( |( |( |
|13 |1 |1 |0 |1 |( |( |( |( |( |( |( |
|14 |1 |1 |1 |0 |( |( |( |( |( |( |( |
|15 |1 |1 |1 |1 |( |( |( |( |( |( |( |
Tableaux De Karnaugh
On a 7 sorties donc 7 équations à déterminer, et donc 7 tableaux de
Karnaugh (1 pour chaque sortie). ----------------------- Table de vérité de la fonction OU
|a |b |S |
|0 |0 |0 |
|0 |1 |1 |
|1 |0 |1 |
|1 |1 |1 | |S | |a |
| | |0 |1 |
|b |0 |0 |1 |
| |1 |1 |1 |
S1 = [pic]. b. c + [pic]. b. [pic]+ a. b. c
|S1 | |a b |
| | |00 |01 |11 |10 |
|c |0 |0 |0 |1 |0 |
| |1 |0 |1 |1 |0 |
Tableau de Karnaugh de la fonction OU
|S2| |a b |
| | |00|01|11|10|
|cd|00|0 |1 |0 |0 |
| |01|0 |1 |0 |0 |
| |11|0 |1 |0 |0 |
| |10|1 |1 |1 |1 |
S2 = [pic]. b + c . [pic]
|S3| |a b |
| | |00|01|11|10|
|cd|00|1 |1 |1 |1 |
| |01|0 |0 |0 |0 |
| |11|1 |1 |1 |1 |
| |10|1 |1 |1 |1 |
S3 = a . [pic].c + [pic] + c . d |3 |2 |2 |3 |
|3 |1 |1 |3 |
|3 |1 |1 |3 |
|3 |2 |2 |3 |
Les cases repérées par le même chiffre sont des cases adjacentes [pic]
|a | |a1 a0 |
| | |00|01|11|10|
|a3|00|1 |0 |1 |1 |
| | | | | | |
|a2| | | | | |
| |01|0 |1 |1 |1 |
| |11|( |( |( |( |
| |10|1 |1 |( |( |
a = [pic].[pic] + a0.a2 + a3 + a1
|c | |a1 a0 |
| | |00|01|11|10|
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